机器学习 – 线性代数基础

1 基本概念和符号

线性代数可以对一组线性方程进行简洁地表示和运算。例如,对于这个方程组:

在矩阵表达中,我们可以简洁的写作:

Ax = b其中

以下是我们要使用符号:

  • 符号A ∈ Rm×n表示一个m行n列的矩阵,并且矩阵A中的所有元素都是实数。
  • 符号x ∈ Rn表示一个含有n个元素的向量。通常,我们把n维向量看成是一个n行1列矩阵,即列向量。如果我们想表示一个行向量(1行n列矩阵),我们通常写作x(xT表示x的转置,后面会解释它的定义)。
  • 一个向量x的第i个元素表示为xi

  • 我们用aij (或Aij,Ai,j,等) 表示第i行第j列的元素:


2 矩阵乘法

矩阵 ∈ Rm×∈ Rn×的乘积为矩阵 :

其中:

矩阵转置

逆矩阵

方程AX=B是线性方程组的矩阵表达形式,称为矩阵方程。其中A称为方程组的系数矩阵X称为未知矩阵B称为常数项矩阵

这样,解线性方程组的问题就变成求矩阵方程中未知矩阵X的问题。类似于一元一次方程ax=ba≠0)的解可以写成x=a-1b,矩阵方程AX=B的解是否也可以表示为X=A-1B的形式?如果可以,则X可求出,但A-1的含义和存在的条件是什么呢?下面来讨论这些问题。

定义11  对于n阶方阵A,如果存在n阶方阵C,使得AC=CA=EEn阶单位矩阵),则把方阵C称为A逆矩阵(简称逆阵)记作A-1,即C=A-1

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