傅里叶详解之傅里叶级数

傅里叶级数

傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
傅里叶级数公式如下:

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其中

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傅里叶级数公式推导

把周期函数表示成三角级数

周期函数是客观世界中周期运动的数学表述,一般我们表示为:

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傅里叶猜想任何一个周期函数都可以表示成下面的样子:

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因为n是从1到无穷大,是一个无穷级数。
这里强调一下,傅里叶级数中对不同频率的波有一个要求就是给定一个初始的频率 w0,之后的角频率必须是 w0 的整数倍,这个也是离散傅里叶变化(DTF)角频率取值原则。

我们根据三角公式

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可以将(5)式转化成如下形式

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我们合并常数项,计作

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得到

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我们只需要计算出A0、an、bn的值就可以了。
我们由泰勒级数知道任意一个函数都可以用一个多项式来逼近

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由麦克劳林可得

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在每个等式中令x = 0,然后使用待定系数法就可以解出A,B,C…的值

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则可以推导出

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然后我们对(6)式进行积分,我们三角函数在一个周期内的积分是0,可以解出A0。

三角函数的正交性

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由三角函数性质可以推导出

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当k≠n的时候有

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由上面的(6)式

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对(6)式进行-π到π的积分,我们在此区间的可积性不做证明。

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解得

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我们下面来求an和bn

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逐项积分

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由三角函数正交性

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同理得到

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(6)式变为

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将假设T = 2π带入得

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目前我们也是需要区间内可积的问题,这里讲一点小故事,就是傅里叶一声致力于热学的研究,傅里叶级数和变化也最开始作用于热学问题的解决,论文发表后,一些学者标识方波无法达到可积条件,但是可以充分拟合,所以整体上还是没有问题的。

最后整理可得:

  1. 设想可以把一个周期函数f(t)通过最简单的一系列正弦函数来表示,即5式
  2. 通过变形后用三角级数(含sin和cos)来表示
  3. 通过积分,把各未知系数用f(t)的积分式来表达
  4. 最后得到的4个表达式就是傅里叶级数公式

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